Végy egy egyméteres botot, vágd szét két feleakkora hosszúságú darabra, majd az így kapott botok egyikét megint felezd meg! Ugye tudod még követni: ekkor egy félméteres és két 25 centis darabod van. Folytasd ezt a műveletsort értelemszerűen, vagyis a felezéssel kapott darabok egyikét mindig felezd tovább! Talán mások is próbálták már végiggondoltatni veled, hogy így kaphatsz egy végtelenül kicsi fadarabot.
Olyan híres tudósok és gondolkodók is, mint Newton és Leibniz valami hasonló okoskodás alapján gond nélkül használták azt a mai szemmel nagyon homályos fogalmat, hogy „végtelenül kicsi”. Más neves kortársaikkal egyetemben számoltak is ezekkel a végtelenül kicsi mennyiségekkel, és erre építve megalkották ezeknek a tudományát, az úgynevezett infinitezimális számítást. Ezt ma már inkább differenciál- és integrálszámításnak nevezzük, s valószínűleg legalább annyit mindenki tud a témáról, hogy valami alapvetően fontos dolog nemcsak a matematika világán belül, hanem a matematikát eszközként, nyelvként használó többi tudományágban is.
A XVII-XVIII. században még nem tudtak kellően pontosan definiálni bizonyos fogalmakat, a bizonytalan alapokra mégis olyan rendszert tudtak felépíteni, ami egy új alapozás után is megáll. Ugyanis a múlt század első felében már sikerült precízen, szabatosan értelmezni a határérték fogalmát, és erre építve megkaphatók ugyanazok a matematikai eredmények, amikhez kétségkívül korszakalkotó XVII. századi felfedezőik gyanús kiinduló pontból gyanús lépéseken keresztül jutottak el. (De hogy az összkép bonyolultságát sejteni lehessen, érdemes megjegyezni, hogy a XX. században sikerült olyan rendszert is felépíteni, amelyben mégis lehet használni azokat a bizonyos infinitezimálisokat.)
A botod felezésével kapcsolatban persze könnyen mondhatod, hogy ha túl kicsi, nem tudod már kettétörni, de ha, mondjuk, valami fűrésszel el is tudnád vágni, akkor is lenne annyi „anyagveszteség”, hogy elforgácsolódna a fa, ha pedig egy ideális szerszámot elképzelve ettől is eltekinthetnénk, akkor is csak véges sok időd van. Egy mai matematikus azonban már az ideális szerszámot és a végtelenül rendelkezésedre álló időt feltételezve sem mondja, hogy eljuthatsz a végtelenül kicsi fadarabhoz. Csak annyit állít, hogy akármilyen kicsi hosszt adunk meg előre, ha kellően pontos szerszám létezését feltételezzük, véges időn belül eljuthatsz egy ennél rövidebb botig. Például egy milliméternél rövidebb botot kapsz, ha a felezési procedúrát tízszer megismétled, hiszen egy milliméter 1/1000 méterrel egyenlő, 10 felezéssel pedig 1/210 = 1/1024 méteres bothoz jutsz. (Abba az itt logikusan felmerülő és szintén mélyreható kérdésbe most ne menjünk bele, hogy az anyagi részecskék mennyire bonthatók szét.)
Mindenesetre ilyen megközelítéssel, vagyis tulajdonképpen a már emlegetett határérték fogalmának segítségével elképzelhető, hogy értelmezni tudjuk végtelen sok szám összegét is. Ez ugyan nem mindig tehető meg, de bizonyos esetekben igen. Megadható tehát végtelen sok (hangsúlyozom, ha nyilvánvalónak tűnik is, hogy ezen azt értjük: nem véges sok) szám, amelyek összege mégis véges. Ha például képezzük az 1/2+1/4+1/8+1/16+… összeget, eredményül 1-et kapunk. Ezen lényegében azt értjük, hogy kellően sok tagot véve ebből az összegből az 1-et akármilyen előre megadott határnál jobban megközelíthetjük, de sosem lépünk túl rajta. A botra visszagondolva ez azt jelenti, hogy a „felezések után” kapott végtelen sok darabot ideális ragasztóval összeragasztva újra 1 méter hosszú botod lesz.
A fenti példa azt mutatta, hogy egy „véges mennyiségen belül” is eljuthatunk a végtelen fogalmához. Persze a másik irány is kézenfekvő, sőt a „végtelen kicsi” helyett talán gyakran előbb gondolunk a „végtelen nagy” fogalmára. Képzeljük el hogy a már emlegetett botból nem csak egy van, hanem hozzá tudunk ragasztani egy második, harmadik, negyedik stb. ugyanilyen hosszú botot. Vagyis a „végtelenségig meghosszabbítjuk”. S ha most az ideális eszközök helyett az ideillő ideális geometriai alakzatot, az egyenest képzeljük el, akkor eszünkbe juthat a köznyelvbe már közhelyként bevett szólás a végtelenben találkozó párhuzamosokról.
A matematikai analízis a végtelen kicsi és végtelen nagy fogalmát a maga számára a határértékkel tette megfoghatóvá, a geometria egyes fejezeteiben pedig dolgozni tudnak a végtelen távoli ponttal, végtelen távoli egyenessel. A matematika elérte azt, hogy többféle összefüggésben is értelmesen tudjon beszélni a végtelenről. Mindeközben alapvető fontosságú lett a „végtelen sok” problémájának vizsgálata is. Ezt talán könnyebben elintézhetőnek vélnénk, hiszen meg is említettük már, hogy a „véges sok” ellentétéről van szó. Ez azonban nem azt jelenti, hogy minden végtelen halmaznak (ugye a halmaz fogalmáról mindenkinek van valamilyen használható emléke?) „ugyanannyi” eleme van, vagyis hogy a „végtelen sok” egyértelműen meghatározott lenne. Két halmaznak akkor van „ugyanannyi eleme”, vagy másképp fogalmazva akkor mondjuk, hogy két halmaz számossága azonos, ha az egyik elemei összepárosíthatók a másik elemeivel úgy, hogy minden elem csak egyszer szerepel és semmi nem marad ki.
Megmutatható például, hogy a természetes (nemnegatív egész) számok halmaza és a valós számok halmaza, amit a számegyenessel szoktunk ábrázolni, különböző számosságú, tehát tényleg nem egyféle végtelen van, különböző „fokozat”-okról beszélhetünk! A halmazok számosságának fogalmával felépíthető a végtelenek egész rendszere. A végtelen halmazok világában azonban elsőre furcsának tűnő összefüggések is igazak. Például az, hogy a rész nem mindig kisebb az egésznél!
Próbáljuk belátni ezt az állítást, nem reménytelen! Gondoljunk a természetes és a pozitív egész számok halmazára! A második nyilván valódi része az elsőnek, hiszen úgy kapjuk, hogy kihagyjuk a természetes számok közül a 0-t. Ha meg akarjuk mutatni, hogy mégis ugyanakkora a számosságuk, akkor meg kell adni egy olyan párosítást a két halmaz elemei között, ami kielégíti a már megfogalmazott feltételeket. Ezt pedig most könnyen meg tudjuk tenni: minden természetes számot párosítsunk össze a nála eggyel nagyobb – pozitív egész – számmal! Így tényleg minden természetes számnak más lesz a pária, és valóban nem marad ki egy pozitív egész sem a párok második tagjai közül. Egyébként kicsit ötletesebb, de még mindig nem túl bonyolult bizonyítással az is megmutatható, hogy az egész számok halmazának, sőt az egészek hányadosaiként előállítható racionális számok „sűrű” halmazának is ugyanennyi a számossága.
Ezeket a halmazokat, amelyek tehát a természetes számok halmazával azonos számosságúak, megszámlálhatóan végtelen halmazoknak nevezzük. Ezek számossága a legkisebb a sokféle, pontosabban végtelen sokféle végtelen számosság között. Jelölésére hagyományosan a héber ábécé első betűjét, az alefet használják: ℵ Ez a jelölés a múlt század második felében alkotó hallei matematikustól, Georg Cantortól származik, akit a halmazelmélet megalkotójaként szoktak emlegetni. A századfordulóra kiderült azonban, hogy ez is olyan terület, ahol ellentmondásokra bukkanhatunk, ha például be akarjuk vezetni a „minden halmazok halmazának” fogalmát. Többek között ezek az ellentmondások tették szükségessé, hogy itt is megállapodjunk olyan bizonyítás nélkül elfogadott alapállításokban, axiómákban, amelyekből adott logikai szabályok szerint bizonyíthatóak a további állítások. A halmazelmélet ma általánosan elfogadott ún. Zermelo-Fraenkel-féle axiómarendszere viszont – nem-matemetikusoknak talán meglepő módon – tartalmazza a végtelen halmaz axiómáját is. Ez azt jelenti, hogy nem tudjuk bizonyítani végtelen számosságú halmaz „létezését”, ezt fel kell tételeznünk! És azzal hogy az elvont matematika tárgyainak, a halmazoknak, pontoknak, egyeneseknek, számoknak a létezésén kezdünk gondolkodni, eljutottunk a matematika és a filozófia határára.
