A fenti példa azt mutatta, hogy egy „véges mennyiségen belül” is eljuthatunk a végtelen fogalmához. Persze a másik irány is kézenfekvő, sőt a „végtelen kicsi” helyett talán gyakran előbb gondolunk a „végtelen nagy” fogalmára. Képzeljük el hogy a már emlegetett botból nem csak egy van, hanem hozzá tudunk ragasztani egy második, harmadik, negyedik stb. ugyanilyen hosszú botot. Vagyis a „végtelenségig meghosszabbítjuk”. S ha most az ideális eszközök helyett az ideillő ideális geometriai alakzatot, az egyenest képzeljük el, akkor eszünkbe juthat a köznyelvbe már közhelyként bevett szólás a végtelenben találkozó párhuzamosokról.
A matematikai analízis a végtelen kicsi és végtelen nagy fogalmát a maga számára a határértékkel tette megfoghatóvá, a geometria egyes fejezeteiben pedig dolgozni tudnak a végtelen távoli ponttal, végtelen távoli egyenessel. A matematika elérte azt, hogy többféle összefüggésben is értelmesen tudjon beszélni a végtelenről. Mindeközben alapvető fontosságú lett a „végtelen sok” problémájának vizsgálata is. Ezt talán könnyebben elintézhetőnek vélnénk, hiszen meg is említettük már, hogy a „véges sok” ellentétéről van szó. Ez azonban nem azt jelenti, hogy minden végtelen halmaznak (ugye a halmaz fogalmáról mindenkinek van valamilyen használható emléke?) „ugyanannyi” eleme van, vagyis hogy a „végtelen sok” egyértelműen meghatározott lenne. Két halmaznak akkor van „ugyanannyi eleme”, vagy másképp fogalmazva akkor mondjuk, hogy két halmaz számossága azonos, ha az egyik elemei összepárosíthatók a másik elemeivel úgy, hogy minden elem csak egyszer szerepel és semmi nem marad ki.
Megmutatható például, hogy a természetes (nemnegatív egész) számok halmaza és a valós számok halmaza, amit a számegyenessel szoktunk ábrázolni, különböző számosságú, tehát tényleg nem egyféle végtelen van, különböző „fokozat”-okról beszélhetünk! A halmazok számosságának fogalmával felépíthető a végtelenek egész rendszere. A végtelen halmazok világában azonban elsőre furcsának tűnő összefüggések is igazak. Például az, hogy a rész nem mindig kisebb az egésznél!
Próbáljuk belátni ezt az állítást, nem reménytelen! Gondoljunk a természetes és a pozitív egész számok halmazára! A második nyilván valódi része az elsőnek, hiszen úgy kapjuk, hogy kihagyjuk a természetes számok közül a 0-t. Ha meg akarjuk mutatni, hogy mégis ugyanakkora a számosságuk, akkor meg kell adni egy olyan párosítást a két halmaz elemei között, ami kielégíti a már megfogalmazott feltételeket. Ezt pedig most könnyen meg tudjuk tenni: minden természetes számot párosítsunk össze a nála eggyel nagyobb – pozitív egész – számmal! Így tényleg minden természetes számnak más lesz a pária, és valóban nem marad ki egy pozitív egész sem a párok második tagjai közül. Egyébként kicsit ötletesebb, de még mindig nem túl bonyolult bizonyítással az is megmutatható, hogy az egész számok halmazának, sőt az egészek hányadosaiként előállítható racionális számok „sűrű” halmazának is ugyanennyi a számossága.
Ezeket a halmazokat, amelyek tehát a természetes számok halmazával azonos számosságúak, megszámlálhatóan végtelen halmazoknak nevezzük. Ezek számossága a legkisebb a sokféle, pontosabban végtelen sokféle végtelen számosság között. Jelölésére hagyományosan a héber ábécé első betűjét, az alefet használják: ℵ Ez a jelölés a múlt század második felében alkotó hallei matematikustól, Georg Cantortól származik, akit a halmazelmélet megalkotójaként szoktak emlegetni. A századfordulóra kiderült azonban, hogy ez is olyan terület, ahol ellentmondásokra bukkanhatunk, ha például be akarjuk vezetni a „minden halmazok halmazának” fogalmát. Többek között ezek az ellentmondások tették szükségessé, hogy itt is megállapodjunk olyan bizonyítás nélkül elfogadott alapállításokban, axiómákban, amelyekből adott logikai szabályok szerint bizonyíthatóak a további állítások. A halmazelmélet ma általánosan elfogadott ún. Zermelo-Fraenkel-féle axiómarendszere viszont – nem-matemetikusoknak talán meglepő módon – tartalmazza a végtelen halmaz axiómáját is. Ez azt jelenti, hogy nem tudjuk bizonyítani végtelen számosságú halmaz „létezését”, ezt fel kell tételeznünk! És azzal hogy az elvont matematika tárgyainak, a halmazoknak, pontoknak, egyeneseknek, számoknak a létezésén kezdünk gondolkodni, eljutottunk a matematika és a filozófia határára.
Ha a matematika sokmindent tisztázott is a maga szempontjából a végtelenről, ez sem azt nem jelenti, hogy a már felvetett kérdései mind meg lennének válaszolva, sem azt, hogy nem merülnének fel újabb és újabb problémák. De ha ezeket sorra meg is tudnánk oldani, ami egyébként adott axiómarendszeren belül egyáltalán nem biztos, a matematika válaszai valószínűleg nem nyugtatnák meg a nem csak matematikai absztrakciókban gondolkodó embert. Biztosan mindenkit elfogott már nyugtalanság a csillagos eget nézve: van-e határ, meddig tart térben, mióta és meddig időben? A modern fizika tudja, hogy térről és időről csak az anyaghoz kapcsoltan beszélhet. A matematika szeretne az anyagtól függetlenül létezni, s bár nyilvánvalóan sem a filozófusok által a „határtalanság” és „korlátozottságnélküliség” fogalmaival leírni próbált végtelent, sem az általunk elérni vágyott Végtelent meg nem ragadhatja, a róluk való gondolkodásunkat mégis alakíthatja.a végtelen